Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при устано­вившемся движении) и его интегрирование


Для вывода уравнения движения жидкости обратимся к записанному ранее уравнению равновесия жидкости (в проекциях на координатные оси), иначе говоря: Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование . Поскольку в идеальной жидкости никаких сосредоточенных сил действовать не может, то последнее уравнение чисто условное. Когда равнодействующая отлична от 0, Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрированието жидкость начнёт двигаться с некоторой скоростью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона, частицы жидкости, составляющие жидкое тело получат ускорение.

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Тогда уравнение движения жидкости в проекциях на координатные оси можно записать в следующем виде:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Согласно основному положению о поле скоростей (метод Эйлера) для проекций скоростей движения жидкости можно записать следующее:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

или (для установившегося движения жидкости):

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Найдём первые производные от скоростей по времени, т.е. определим ускорения вдоль осей координат:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

отметим, что:Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

'         *                                                                                                                                      /

Теперь подставив выражения для ускорений в исходную систему дифференциальных уравнений движения жидкости, получим систему уравнений Эйлера в окончательном ви-де2:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Теперь вновь обратимся к системе дифференциальных уравнений движения жидкости, умножив обе части 1-го уравнения на dx, 2-го уравнения на dy, 3-го уравнения на dz, получим:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

и просуммировав эти уравнения по частям, получим:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

2 При неустановившемся движении жидкости уравнения Эйлера дополняются первыми слагаемыми.

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Преобразуем       левую       часть       полученного       уравнения,       полагая,       что

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование в результате запишем

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Слагаемые в правой части уравнения являются полными дифференциалами функций.

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Теперь уравнение примет вид

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, тоДинамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование, и

>       ,*

тогда получим:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

После интегрирования получим:

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование ?

разделив почленно все члены уравнения на g, получим так называемое уравнение Бернулли

Динамика идеальной жидкости. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости (при установившемся движении) и его интегрирование

Здесь величина Н называется гидродинамическим напором Величина гидродинамического напора постоянна для всех живых сечений элементарной струйки идеальной жидкости.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: