Уравнение неразрывности жидкости


Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно записать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность жидкости) с

параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого уравнения основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды, в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.

Для этой цели выделим в пространстве малый элемент жидкой среды в виде  параллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно.Уравнение неразрывности жидкости. Грани параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости, плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и переднюю грани элемента и вытекает через противоположные грани.

Уравнение неразрывности жидкости

Будем считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допустить, что в пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движения будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно размеры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут одинаковыми, как и плотность жидкости в пределах соответствующих граней. Тогда произведение плотности жидкости на вектор скорости (импульс) в специальной литературе часто называют вектором массовой скорости ри.

В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани элемента на ось ОХ будет равна:

Уравнение неразрывности жидкости

а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось ОХ:

Уравнение неразрывности жидкости &

Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал времени dt\

Уравнение неразрывности жидкости

масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал времени dt:

Уравнение неразрывности жидкости

Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси ОХ:

Уравнение неразрывности жидкости

Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси OY:                                                                                                  1,

Уравнение неразрывности жидкости

и вдоль оси OZ:

Уравнение неразрывности жидкости

Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости в произвольном направлении:

Уравнение неразрывности жидкости ? или

Уравнение неразрывности жидкости

Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости t = Q) -   р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.Уравнение неразрывности жидкости

Уравнение неразрывности жидкости

Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:

Уравнение неразрывности жидкости

для времениУравнение неразрывности жидкости:

Уравнение неразрывности жидкости

Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

Уравнение неразрывности жидкости •> или:

Уравнение неразрывности жидкости i

откуда для наиболее общего случая нестационарного поляУравнение неразрывности жидкостидифференциальное уравнение неразрывности запишется в следующем виде:

Уравнение неразрывности жидкости

и для частного случая - стационарного поляУравнение неразрывности жидкости:

Уравнение неразрывности жидкости «

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем виде:

Уравнение неразрывности жидкости ?

Предыдущие материалы: Следующие материалы: