Основное уравнение гидростатики


Рассмотрим случай равновесия жидкости в состоянии «абсолютного покоя», т.е. когда на жидкость действует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости в сосуде мал по сравнению с объёмом Земли, то уровень свободной поверхности жидкости в сосуде можно считать горизонтальной плоскостью. Давление на свободную поверхность жидкости равно атмосферному  давлению р0. Определим давление р в произвольно выбранной точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М горизонтальную площадку площадью dS . Построим на данной площадке вертикальное тело, ограниченное снизу самой площадкой, а сверху (в плоскости свободной поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим равновесие полученного жидкого тела. Давление на основание выделенного объёма будет внешним по отношению к жидкому телу и будет направлено вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось тела.

Основное уравнение гидростатики

Основное уравнение гидростатики

Сократив все члены уравнения на dS, получим:

Основное уравнение гидростатики

Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно р0, следовательно, давление во всех точках жидкости на глубине h также одинаково согласно основному уравнения гидростатики. Поверхность, давление на которой одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на расстоянии z0 от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение гидростатики в виде:

Основное уравнение гидростатики

Все члены уравнения имеют линейную размерность и носят название:

-  геометричкская высота,

Основное уравнение гидростатики -  пьезометрическая высота

ВеличинаОсновное уравнение гидростатикиносит название гидростатического напора.

Основное уравнение гидростатики, доказанное на примере жидкости находящейся под действием только сил тяжести, будет справедливо и для жидкости, которое испытывает на себе ускорение переносного движения. Под действием сил инерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии переносного движения называется относительным покоем жидкости. Любые комбинации ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости

Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении сосуда. Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с некоторым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы тяжести Основное уравнение гидростатики и сила инерции равномерно укоренного движения цистерныОсновное уравнение гидростатики. Тогда равно-

действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов ускорения переносного движения и ускорения свободного падения.

Основное уравнение гидростатики

При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а будет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности жидкости, согласно основному условию равновесия жидкости будет направлена перпендикулярно векторуОсновное уравнение гидростатики, т.к., равнодействующий вектор массовых сил должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверхности жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости определяется соотношением ускоренийОсновное уравнение гидростатики

Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубинеОсновное уравнение гидростатикипод уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости измеряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку Основное уравнение гидростатикипараллельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение равновесия жидкости запишется в следующем виде:

Основное уравнение гидростатики

ВеличинуОсновное уравнение гидростатикизаменим эквивалентной величинойОсновное уравнение гидростатики, где h -погружение точки М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти две величины

одинаковы, т.к. Основное уравнение гидростатики. После этих преобразований уравнение равновесия

жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного закона гидростатики:

Основное уравнение гидростатики

Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости. Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности жидкости, и иметь такой же уклонОсновное уравнение гидростатики

Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором уровнеОсновное уравнение гидростатикиотносительно дна сосуда. После того как мы приведём сосуд во вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой скоростью со = const, начальный уровень свободной поверхности жидкости изменится: в центре сосуда он понизится, а по краям сосуда повысится. При этом форма свободной поверхности примет явно вид криволинейной поверхности вращения. Это явление объясняется тем, что Основное уравнение гидростатики при вращении сосуда вокруг своей оси жидкость в нём будет испытывать ускорение переносного движенияОсновное уравнение гидростатики направленное в сторону стенок сосуда. Поскольку равнодействующая двух сил: силы тяжести и центробежной силы должна быть направлена по нормали к свободной поверхности жидкости в каждой точке поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше, две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вертикально вниз и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.

Основное уравнение гидростатики

В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения Основное уравнение гидростатики будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.

Основное уравнение гидростатики

Отсюда:

Основное уравнение гидростатики

В центре на оси вращения, на расстоянии Основное уравнение гидростатикиот дна сосуда будет расположена

самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.Основное уравнение гидростатики

Основное уравнение гидростатики

Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения (кривая АОВ-парабола).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в частности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:

Основное уравнение гидростатики

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда, наклоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же, что подтверждает универсальность формулы основного уравнения гидростатики.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: