Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля


 

          Запишем уравнение Бернулли в дифференциальной форме

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля.

          Преобразуем уравнение Бернулли для газа так, чтобы можно было ввести число Маха. Имеем

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля,

квадрат скорости звука Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля, тогда

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля .

          Поделим на a2, получим

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля,

или в окончательном виде

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля,

где M - число Маха.

          Другим уравнением, необходимым для анализа течений газа в трубе переменного сечения, является уравнение неразрывности, или сохранения массы.

          Будем рассматривать одномерное установившееся течение газа вдоль трубы переменного сечения, при этом предположим, что параметры потока газа, такие, как скорость потока, давление и плотность, одинаковы во всех точках каждого из конечных сечений, перпендикулярных к оси трубы.

          Это предположение довольно хорошо соответствует действительности для элементарной трубки тока, но его применяют и для труб конечных размеров, используя средние величины по сечениям трубы.

          Через каждое поперечное сечение трубы в случае одномерного течения проходит за 1 с масса газа m=Svr, где S - площадь поперечного сечения трубы, v - скорость течения газа, r - плотность газа. При установившемся течении через все поперечные сечения должна пройти одна и та же масса газа, т.е.

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля.

          Прологарифмируем это уравнение сохранения массы. Получим

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля.

          Считая переменными величины S, v, r, возьмём полные дифференциалы от обеих частей. Имеем

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля.

          Это и есть уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения идеального газа в трубе переменного сечения.

Уравнение Гюгонио. Сопло ЛаваляРис. 57

 

          Из уравнения неразрывности и уравнения Бернулли исключим величинуУравнение Гюгонио. Сопло Лаваля. Получим

Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля.

Это уравнение носит название уравнения Гюгонио.

          Используя уравнение Гюгонио, проанализируем характер возможных течений газа в трубе переменного сечения.

          Из уравнений следует:

          1) при M<1, что соответствует дозвуковым течениям, знаки величин dS и dv противоположны, т.е. там, где возрастает S, в направлении течения скорость должна убывать, и наоборот,

          2) для сверхзвуковых течений M>1, знаки dS и dv одинаковы,  т.е. сверхзвуковой поток расширяется противоположно  дозвуковому. Чтобы увеличить его скорость, трубу следуeт  расширить,

          3) при M = 1 имеем dS = 0, т.е. в этом случае  S  достигает максимума или минимума. Можно показать, что M = 1 может быть только в  самом узком сечении трубы, где S=Smin.

          Выводы о характере течений газа в трубах переменного сечения нашли применение в конструкциях сопел современных ракетных двигателей и аэродинамических трубах больших скоростей. Для получения больших сверхзвуковых скоростей выходящего из сопла газа следует сначала сопло сужать, чтобы получить звуковую скорость газа в узком сечении сопла, а затем сопло надо расширять для дальнейшего увеличения скорости выходящего из него газа.

Уравнение Гюгонио. Сопло ЛаваляРис. 58

          Наибольшая скорость, которая может быть получена на выходе из сопла, зависит от площади выходного сечения и должна обеспечиваться необходимым для данной скорости давлением на входе в сопло ( рис. 58 ).

 

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: