Течение по трубе


Известно несколько точных решений для уравнений Навье-Стокса. Рассмотрим одно из них - для случая стационарного течения жидкости в трубе произвольного сечения ( одинакового вдоль всей длины трубы ).

Ось трубы выберем в качестве оси  Течение по трубе. Очевидно, что скорость Течение по трубе жидкости направлена везде по оси Течение по трубе и является функцией только от Течение по трубе и Течение по трубе.

Уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а проекции на оси Течение по трубе и Течение по трубе из системы уравнений Навье-Стокса дают

Течение по трубе.

То есть давление постоянно вдоль сечения трубы. Уравнение в проекции на ось х дает

Течение по трубе.

Откуда имеем, что Течение по трубе, градиент давления можно записать в виде Течение по трубе , где Течение по трубе  - разность давлений на концах трубы, а Течение по трубе  - ее длина.

Распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа

Течение по трубе.

Уравнение должно быть решено при граничном условии Течение по трубе на контуре сечения трубы.

Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре трубы кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии Течение по трубе .

Воспользуемся выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем

Течение по трубе.

Интегрируя, находим

Течение по трубе.

Постоянную  a  надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая ее центр.

Постоянную  b  определим из требования  Течение по трубе, при r = R ( где R - радиус трубы ) и получаем

Течение по трубе.

Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону.

Определим расход жидкости в трубе - количество ( массу ) жидкости  Q, протекающей в 1 секунду, через поперечное сечение трубы.

Через кольцевой элемент Течение по трубе площади сечения трубы проходит в 1 секунду количество жидкости Течение по трубе.

Поэтому

Течение по трубе.

Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: