Примеры плоских течений


1. Однородный равномерный поток

 

Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой во всём потоке скоростью vx, параллельной оси ox. В этом случае

Примеры плоских течений .

Отсюда

Примеры плоских течений.

Примеры плоских течений       Линии равных потенциалов  j=const представляют собой прямые, параллельные оси ординат.

          Можно положить jo= 0 и k = 0, тогда

Примеры плоских течений .

          Функцию тока найдём из условия

Примеры плоских течений.

          Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных прямых, параллельных осям координат, а комплексный потенциал равен

Примеры плоских течений .

          Для прямолинейного течения несжимаемой невязкой жидкости со скоростью v, наклонённой к оси абсцисс под углом a, будем иметь

Примеры плоских течений.

          Откуда

Примеры плоских течений

и

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений.

          Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид

Примеры плоских течений

 

2. Источник и сток

 

В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

          Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом Q и с одинаковой интенсивностью во всех направлениях ( рис. 59 ). Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.

 

Источник                                               Сток

Примеры плоских течений

а                                              б       

Рис. 59

          Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком.

          Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение неразрывности - уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае несжимаемой жидкости будем иметь

Примеры плоских течений.

          Отсюда скорость

Примеры плоских течений

          и, следовательно,

Примеры плоских течений ,

Примеры плоских течений .

          Откуда

Примеры плоских течений.

          Интегрируя

Примеры плоских течений,

где С - константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге r = 1 функция  j = 0.

          Для определения функции тока воспользуемся выражением

Примеры плоских течений  Примеры плоских течений

          откуда полный дифференциал

Примеры плоских течений .

          После интегрирования имеем

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений и С = 0 при  y = 0.

          Следовательно

Примеры плоских течений .

          Потенциал скорости источника j(r)  может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса, а функция тока y(q)  в виде пучка прямых, исходящих из источника.

3. Вихрь

 

Рассмотрим комплексный потенциал

Примеры плоских течений.

          Пусть А - действительное число

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений .

          Линии тока лучи  e=const . Изопотенциальные линии - окружности.

          Найдём расход

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений, Примеры плоских течений

- комплексный потенциал источника или стока мощности Q ( рис. 60 ).

Пусть А - чисто мнимое равное Вi, где В - действительное.

Примеры плоских течений

 

Источник                                Вихрь                 

Примеры плоских течений

а                                               б                         

Рис. 60

Примеры плоских течений ,

Примеры плоских течений ,

Примеры плоских течений- вихрь.

          4. Вихреисточник

Рассмотрим случай комплексного коэффициента при логарифме

Примеры плоских течений.

 

Примеры плоских течений                        Рис. 61

          Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения двух потоков

Примеры плоских теченийПримеры плоских течений,

Примеры плоских течений

- комплексный потенциал вихреисточника ( рис. 61 ).

 

5. Диполь

          Рассмотрим комплексный потенциал Примеры плоских течений ,

Примеры плоских течений,

Примеры плоских теченийПримеры плоских течений .

          Найдём семейство линий тока

Примеры плоских течений,

Примеры плоских течений.

          Линии тока - окружности с центрами на оси oy.

 

Примеры плоских течений

Рис. 62

          Изопотенциальные линии - окружности с центрами на оси ox( рис. 62 ).

          Диполь

Примеры плоских течений ,

          где m - момент диполя.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: