Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока


          В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом  случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, x и y, также функциями этих двух координат являются проекции vx и vy  скорости течения.

          Пусть определена функция Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока, которая удовлетворяет следующим условиям

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.

          Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

или

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

          Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции y, найдём

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции y, напишем

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция токаСетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

          Отсюда следует, что Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока, таким образом, функция тока на линии тока сохраняет постоянное значение.

          Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т.е. что во всех точках потока имеет место условие

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

          В соответствии с принятыми предположениями в этом случае

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,

где j - потенциал скорости.

          Из условия   Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока имеем

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Подставляя сюда выражение для функции тока, получим

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

или через потенциал скорости

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

          Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,j1, j,...  или y1, y2,...  такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока ,

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока ,

          где A1, A2, ..., B1, B2, ...  - постоянные.

          Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока                Рис. 57

Если построить два семейства кривых: эквипотенциальные линии Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока (т.е. линии равного потенциала) и кривые Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока -  линии тока (здесь k и c - параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональную сетку плоского течения ( рис. 57 ).

          Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v, совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока, тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Из уравнения же эквипотенциальной линии следует

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока 

и отсюда тангенс угла a2, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Показать, что касательные векторы  взаимно перпендикулярны, можно так

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          В результате перемножения получаем

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.

          Функция тока y имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока  y1 и y2  (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy  будем предполагать равным единице

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция токаСетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция токаСетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция токаСетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока          где dS  - элемент живого сечения струйки, v - скорость, n - единичный вектор по нормали к элементу dS , S1 и S2 - границы сечения.

          Обозначим через a  угол, образуемый вектором Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока с осью ox, тогда Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока и Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,

          но Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока, Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока ,  поэтому

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.

          Из сопоставления

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока, Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока 

          следует

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция токаСетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

          Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

функций j и y является функцией комплексного переменного z=x+iy, т.е.

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока .

Функция w  называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную от комплексного потенциала

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока ,

причём

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,

где h1 и h2 - бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

- это выражение называется комплексной скоростью.

          Модуль комплексной скорости даёт величину скорости

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока ,

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

Рис. 58

          Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

Введем кроме комплексной скорости ( рис. 58 )

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,

сопряжённую скорость

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

Тогда

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока,

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

          Рассмотрим

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока.

          Тогда

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока- циркуляция,

Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока - расход.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: