Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)


Это уравнение относится к идеальной жидкости.

dx, dy, dz – размеры объема по координатным осям.

А – середина.

Дано жидкое тело, массой М, плотностью , которое находится в равновесии под действием внешних сил. Равнодействующую этих сил обозначим F.

Выберем декартову систему координат в которой находится тело.

Сила F может быть разложена на 3 составляющие:

F= f(Fx ;Fy; Fz)

Описание: img004Где  - это в соответствии со 2-м законом Ньютона – проекции ускорений, вызываемых внешними силами на соответствующие координатные оси.

Выделим в жидком теле бесконечно малый объем с центром в точке А в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным осям. Мысленно отбрасываем окружающую параллелепипед жидкую среду. Заменяем жидкую среду эквивалентными силами.

Поскольку жидкое тело находится в равновесии, соответственно и выделенный объем, то

 - условие равновесия вдоль оси х.

 - проекция на ось х элементарной массовой силы.

Элементарная масса прямоугольного параллелепипеда :

- элементарный объём нашего параллелепипеда

               и - давление в точках 1 и 2.

А – центр тяжести рассматриваемого элементарного объёма .

Давление в точке А=р.

Направление оси х может быть представлено частной производной :

                   

Обе части полученной системы можно разделить на константу и получим:

Сложим все 3 уравнения и получим следующую формулу:

 

            - основное уравнение гидростатики.

 

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: