Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости


Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dS1 и dS2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0-0 характеризуется величинами Z1 и Z2. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P1, P2 и v1, v2 соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

Описание: D:\РАБОТА\ГИДРАВЛИКА\лекции\Мои лекции\Вспомогательный материал\К лекции 6.png

Рисунок

6.1 Элементарная струйка идеальной жидкости при установившемся движении

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное v1dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние v2dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы P1dS1 на путь v1dt:

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (Z1–Z2) и работа, произведённая силами тяжести, составит:

Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит

Приравнивая приращение кинетической энергии к сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду:

Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим

После сокращения и преобразований придём к искомому виду

Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин  описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

Таким образом, получено уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: