Дифференциальное уравнение равновесия жидкости


          Запишем уравнение Эйлера

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          Если жидкость покоится

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут быть записаны так

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          Здесь Fx, Fy, Fz - проекции на оси x,y,z  сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.

          Умножая давления соответственно на dxdydz  и складывая их, получаем

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          Левая часть уравнения представляет полный дифференциал

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости ,

следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном r, чтобы существовала функция U(x,y,z) такая что

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости,   Дифференциальное уравнение равновесия жидкостиДифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          Имеем

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

          Проинтегрировав, получим

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости,

          где С - постоянная интегрирования.

Если в какой-либо точке известно давление po и постоянная функция Uo, то

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости ,

из интеграла имеем

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          В частности, когда жидкость находится в поле сил тяжести

  Дифференциальное уравнение равновесия жидкости,   Дифференциальное уравнение равновесия жидкостиДифференциальное уравнение равновесия жидкости .

          Следовательно,

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

          Уравнение для давления принимает вид

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

          Свободная поверхность жидкости плоская  z=const. При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

          Рассмотрим примеры.

Пример 1.  Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.

Решение. На жидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т.е.

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости,   Дифференциальное уравнение равновесия жидкостиДифференциальное уравнение равновесия жидкости .

Дифференциальное уравнение равновесия жидкостиРис. 17

Имеем

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости ,

откуда

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

- уравнение прямой.

 

          Следовательно, свободная поверхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом Дифференциальное уравнение равновесия жидкости, который определяется из равенства

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости .

Пример 2. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w .

          Решение. Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия.

 

 

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости                              Рис. 18

 

          Из массовых сил на жидкость действует центробежная сила и сила тяжести. Центробежная сила, действующая на массу m, находится на расстоянии r от оси вращения ( рис. 18 )

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

Проекции силы на оси, отнесенные к единице массы, будут

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости,   Дифференциальное уравнение равновесия жидкостиДифференциальное уравнение равновесия жидкости .

Тогда

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

          Откуда

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости,

          т.е. свободная поверхность - параболоид вращения.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: