Гидродинамика


 

В гидродинамике принята струйчатая модель потока, согласно которой поток жидкости представляет собой совокупность струек весьма малого поперечного сечения (рис. 3.1). Идеальной жидкостью называется условная жидкость, которая не изменяет своего объема и в ней отсутствует вязкость.

Рассматривая отдельные элементарные струйки, предполагают, что они имеют неизменяемую форму во времени, обмен частицами жидкости между соседними элементарными струйками исключен,  а скорости u  одинаковы  по всему  поперечному  сечению  струйки dw, нормальному к направлению скорости  u. Такое поперечное сечение называется живым сечением элементарной струйки.

 

Элементарный расход жидкости через живое сечение равен произведению скорости на площадь живого сечения струйки:

.

При установившемся движении для двух произвольно выбранных живых сечений справедливо гидравлическое уравнение неразрывности элементарной струйки:

,

т.е. скорости в различных сечениях элементарной струйки обратно пропорциональны площадям живых сечений.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости дает связь между величиной гидродинамического давления р и скоростью движения частицы u в любой фиксированной точке элементарной струйки. Для двух сечений 1-1 и 2-2:

.

С геометрической точки зрения здесь:

z – высота, отсчитываемая от плоскости сравнения до произвольной точки живого сечения, и называемая высотой положения.

Второе слагаемое уравнения -  называют пьезометрической высотой или высотой давления.

Слагаемое   принято называть скоростной высотой или скоростным напором.

Сумма высот положения и давления    называется пьезометрическим напором.

 Сумма пьезометрического и скоростного напоров, представляющая собой сумму трех членов уравнения Бернулли, называется полным напором H.

С энергетической точки зрения сумма трех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию движущейся жидкости (т.е. энергию частицы жидкости, отнесенную к единице ее веса).

Напомним, что все члены уравнения Бернулли, выраженные в единицах длины, отнесены к единице веса движущейся жидкости.

Так                     ,

где:  L - символ длины;

        F - символ силы ( веса );

        A - символ работы;

        Э - символ энергии.

Энергия, отнесенная к единице веса, как известно, называется удельной энергией. Таким образом, каждый из членов уравнения Бернулли представляет собой определенный вид удельной энергии движущейся жидкости.

Для выявления энергетического смысла уравнения Бернулли рассмотрим вначале некоторую часть элементарной струйки массой m и объемом W , обладающей скоростью u   и испытывающей гидродинамическое давление (рис. 3).

Если эта масса находится на высоте  z  от плоскости сравнения О - О, то потенциальная энергия массы струйки m, зависящая от положения, будет равна ее весу, умноженному на высоту поднятия, т.е. m.g.z , отсюда удельная потенциальная энергия положения будет равна:

Таким образом, первый член уравнения Бернулли z с энергетической точки зрения представляет собой удельную  энергию положения движущейся жидкости.

Так как масса струйки занимает объем W и испытывает давление p, то потенциальная энергия давления будет p.W .Поскольку вес жидкости в объеме W можно выразить, как g.W, то удельная потенциальная энергия давления определится соотношением:

.

Отсюда видно, что в энергетическом смысле член     в уравнении Бернулли представляет собой вид удельной потенциальной энергии, обусловленной гидродинамическим давлением и называемой удельной энергией давления движущейся жидкости.

Сумма удельных энергий положения и давления называется удельной потенциальной энергией движущейся жидкости - eп .

  .

Третий член уравнения Бернулли    выражает собой величину удельной кинетической энергии eк  движущейся жидкости.

Действительно, кинетическая энергия, которой обладает масса m, движущаяся со скоростью u будет . Если же эту энергию отнести к единице веса (т.е. разделить на m.g), то легко получить, что         

 .

 Отсюда видно, что сумма трех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию движущейся жидкости  e , которая слагается из удельной  энергии потенциальной энергии eп (равной сумме удельной энергии положения и давления) и удельной кинетической энергии , т.е.

.

Переписав это уравнение для двух частиц (1 и 2), находящихся в одной элементарной струйке, или для двух положений одной и той же частицы движущейся жидкости , мы заметим, что

                    (1 – 9)

Т.е. сумма удельной потенциальной и кинетической энергии по длине элементарной струйки остается постоянной.

Уравнение Бернулли в форме (1 – 8) или (1 – 9) позволят четко определить взаимосвязь между удельной потенциальной и кинетической энергией и преобразованием одного вида энергии в другой (например, части потенциальной энергии в кинетическую или наоборот). Поэтому уравнение Бернулли представляет собой частное выражение общего закона сохранения энергии.    

Резюмируя сказанное выше, энергетический смысл уравнения Бернулли можно кратко сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости удельная энергия не изменяется по длине элементарной струйки.

Уравнение Бернулли для двух сечений потока установившемся плавно изменяющемся движении жидкости.

Живым сечением потока, называется поверхность, нормальная в каждой своей точке к направлению скорости u. В отдельных частных случаях движения жидкости живое сечение потока является плоским или почти плоским.

Движение, близкое к прямолинейному и параллельноструйному, называется  плавно изменяющимся движением.

Расходом потока Q называется объем жидкости, проходящий через данное живое сечение в единицу времени.

Средней скоростью течения называется отношение

 ,

где w - площадь живого сечения.

Уравнение неразрывности для потока жидкости имеет вид:

,

т.е. в установившемся потоке жидкости средние скорости движения обратно пропорциональны площадям живых сечений.

Расход Q , площадь живого сечения потока w, средняя скорость v называются основными гидравлическими элементами потока.

Для двух сечений потока при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

.

Здесь: z – расстояние    от    произвольно   выбранной   точки   в  живом сечении  w  до плоскости сравнения;

           p – гидродинамическое давление, определенное в той же точке живого сечения потока;

          g  -  удельный вес жидкости;

          v - средняя скорость в живом сечении w;

          g  -  ускорение силы тяжести;

            a - коэффициент неравномерности распределения скоростей в живом сечении; выполненными исследованиями установлено, что среднее значение коэффициента a для установившегося плавно изменяющегося движения в реках, каналах и трубах составляет  a @ 1,03 … 1,10. Во многих практических случаях гидравлических расчетов (например, при расчете труб) этим небольшим отличием коэффициента a от единицы пренебрегают, принимая  a = 1,0 .

         hw - потеря    напора,     затраченная     на    преодоление    гидравлических сопротивлений в пути между первым и вторым сечением.

Условия применения уравнения Бернулли для потока жидкости:

а) оно может применяться лишь к таким двум сечениям, вблизи которых поток удовлетворяет условиям плавной изменяемости. В пути между рассматриваемыми сечениями условия плавной изменяемости могут и не соблюдаться;

б) двучлен  в уравнении Бернулли можно относить к любой точке (по высоте) каждого из двух выбранных сечений потока, для которых пишется уравнение.

 Рассмотрим несколько примеров задач гидростатики.

Формула Торричелли

Определим скорость истечения идеальной жидкости v через отверстие из бака под напором H.

В качестве плоскости сравнения выбираем горизонтальную плоскость  o-o, совпадающую с осью отверстия. Напишем уравнение Бернулли для сечения   1 – 1   на   уровне   свободной поверхности жидкости и 2-2 – вертикального сечения, проходящего через струю жидкости около отверстия:

В рассматриваемом случае при принятой плоскости сравнения имеем:

; ; т.к. площадь бака существенно больше площади отверстия принимаем ; Далее имеем ; .

Т.к. идеальная жидкость не имеет вязкости, потери напора на трение  hw = 0.  Скорость v2 = v - требуется определить. Т.о. имеем:

,

или                                            .

Окончательно получаем

.

Эта формула впервые получена итальянским ученым Торричелли и носит его имя.

Трубчатый водомер Вентури.

Составляем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, пренебрегая потерями энергии и при произвольной   плоскости    сравнения о-о:

;

Имеем:

;

.

;

;

;

Расход воды:

;

,

или                                    ,

где  K – постоянная прибора:

.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: