Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при переменном уровне


 

Истечение жидкости при переменном уровне встречается пр;: опорожнении и наполнении резервуаров, цистерн, шлюзовых камер, бассейнов и других емкостей. Обычно в этом случае необходимо определить время опорожнения или наполнения емкости.

Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 42). Пусть резервуар призматического сечения и имеет площадь . Очевидно, движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень е течением времени опускается, что вызывает постоянное уменьшение расхода.

Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt уровень жидкости уменьшится на величину dy (за этот промежуток времени движение можно считать установившимся). За что время вытечет объем жидкости, равный

,                                         (135)

или

.                            (136)

Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, имеем

.                                     (137)

Знак минус поставлен потому, что dy величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.

Приравнивая правые части уравнений (136) и (137), получим

,

откуда

.                               (138)

Интегрируя полученное выражение, найдем время истечения

,                          (139)

или, вынося постоянные величины за знак интеграла,

,

.

Итак, время понижения уровня от  до

.                         (140)

Время полного опорожнения, т. е. если  равно

.                                      (141)

Рассмотрим случай истечения под уровень (рис. 43). Пусть разность уравнений жидкости в резервуарах равна у, площади поперечного сечения резервуаров соответственно  и .

Определим время выравнивания уровней при истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке. За бесконечно малый промежуток времени из первого резервуара вытечет объем жидкости

,                                  (а)

во втором резервуаре прибудет тот же объем, равный

,                                   (б)

в то же время

.                            (в)

Из чертежа имеем

или

,                                   (г)

но , откуда

.

Подставим значение  в уравнение (г)

,

откуда

.                          (д)

Подставим значение  из выражения (д) в уравнение (а)

и приравняем правые части полученного уравнения и уравнения (в)

.

Разделим переменные и интегрируем

и

;                    (142)

в частном случае при

.                                      (143)

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: