Несжимаемые жидкости


 

          Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать постоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движения. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.

          Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упрощаются. Уравнение неразрывности при Несжимаемые жидкости принимает простой вид

Несжимаемые жидкости.

          уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде

Несжимаемые жидкости.

          Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следующим образом

Несжимаемые жидкости.

          Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид

Несжимаемые жидкости.

Особенно упрощается уравнение для потенциального течения несжимаемой жидкости.

          При подстановке Несжимаемые жидкости в уравнение неразрывности Несжимаемые жидкости, получим

Несжимаемые жидкости,

то есть уравнение Лапласа для потенциала.

          Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёрдыми телами:

- на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхности  компонента vn скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел vn  должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали.

          С другой стороны, скорость vn равна производной от потенциалаНесжимаемые жидкости по направлению нормали

Несжимаемые жидкости.

          Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, чтоНесжимаемые жидкости является на границах заданной функцией координат и времени.

          При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением

Несжимаемые жидкости.

          Если движение жидкости является потенциальным и вызвано движением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно времени, время входит в решение через граничные условия.

Несжимаемые жидкости

                Рис. 14

          Из уравнения БернуллиНесжимаемые жидкости видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости вне поля тяжести наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О) и называется критической точкой.

Если U - скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а p0 – давление на бесконечности, то давление в критической точке равно

Несжимаемые жидкости.

          Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения неразрывности

Несжимаемые жидкости

          видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде производных

Несжимаемые жидкости,     Несжимаемые жидкости

          от некоторой функции Несжимаемые жидкости, называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.

Несжимаемые жидкости.

          Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока

Несжимаемые жидкости

          или

Несжимаемые жидкости,

          оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.

          Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока

Несжимаемые жидкости,

откудаНесжимаемые жидкости. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока  Несжимаемые жидкости постоянной.

          Если между точками 1 и 2 в плоскости x,y провести кривую, то поток жидкости Q через  эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.

          Действительно, если vn - проекция скорости на нормаль к кривой в данной точке, то

Несжимаемые жидкости

          или

Несжимаемые жидкости.

          Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: