Сохранение циркуляции скорости


          Интеграл

Сохранение циркуляции скорости,

взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.

          Рассмотрим некоторый замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как "жидкий", составленный из находящихся на нём частиц жидкости. С течением времени контур перемещается.

          Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учётом подвижности контура. Временно дифференцирование по координатам обозначим знаком Сохранение циркуляции скорости, знак Сохранение циркуляции скорости- дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.

Сохранение циркуляции скорости.

По определению скорость Сохранение циркуляции скорости это производная радиус-вектораСохранение циркуляции скорости

Сохранение циркуляции скорости.

          Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю и остаётся

Сохранение циркуляции скорости.

          Из уравнений Эйлера имеем

Сохранение циркуляции скорости.

          Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку Сохранение циркуляции скорости)

Сохранение циркуляции скорости.

          Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:

   Сохранение циркуляции скорости,  или  Сохранение циркуляции скорости.

          Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.

          Это утверждение называется теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использования уравнений Эйлера и предположения об изэнтропичности движения жидкости.

          Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру Сохранение циркуляции скоростии, преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:

Сохранение циркуляции скорости,

гдеСохранение циркуляции скорости - элемент поверхности, опирающейся на контур Сохранение циркуляции скорости. Вектор Сохранение циркуляции скорости часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения Сохранение циркуляции скорости можно использовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: