Сохранение циркуляции скорости

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

          Интеграл

Сохранение циркуляции скорости,

взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.

          Рассмотрим некоторый замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как "жидкий", составленный из находящихся на нём частиц жидкости. С течением времени контур перемещается.

          Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учётом подвижности контура. Временно дифференцирование по координатам обозначим знаком Сохранение циркуляции скорости, знак Сохранение циркуляции скорости- дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.

Сохранение циркуляции скорости.

По определению скорость Сохранение циркуляции скорости это производная радиус-вектораСохранение циркуляции скорости

Сохранение циркуляции скорости.

          Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю и остаётся

Сохранение циркуляции скорости.

          Из уравнений Эйлера имеем

Сохранение циркуляции скорости.

          Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку Сохранение циркуляции скорости)

Сохранение циркуляции скорости.

          Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:

   Сохранение циркуляции скорости,  или  Сохранение циркуляции скорости.

          Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.

          Это утверждение называется теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использования уравнений Эйлера и предположения об изэнтропичности движения жидкости.

          Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру Сохранение циркуляции скоростии, преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:

Сохранение циркуляции скорости,

гдеСохранение циркуляции скорости - элемент поверхности, опирающейся на контур Сохранение циркуляции скорости. Вектор Сохранение циркуляции скорости часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения Сохранение циркуляции скорости можно использовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы:
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.