Уравнение Бернулли


 

          Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остаётся постоянной во времени. Скорость Уравнение Бернуллиостаётся функцией только координат

Уравнение Бернулли,

Уравнение Бернулли.

 

          Рассмотрим некоторые сведения о линиях тока. Линии тока это линии, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени. Уравнения линий тока определяются системой дифференциальных уравнений

Уравнение Бернулли .

          При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости.

          При нестационарном течении такое совпадение не имеет места:

- касательные к линии тока дают направление скорости различных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определённый момент времени

- касательные к траектории дают направление скорости определённых частиц в последовательные моменты времени.

          Умножим уравнение Эйлера для стационарного потока жидкости на единичный вектор касательной к линии тока в каждой её точке Уравнение Бернулли.

          Проекция градиента на некоторое направление равна производной, взятой по этому направлению. Поэтому

Уравнение Бернулли .

Вектор   Уравнение Бернулли  перпендикулярен вектору скорости, и поэтому его проекция на направление Уравнение Бернулли  равна нулю

Уравнение Бернулли.

          Таким образом, получаем

Уравнение Бернулли.

          Откуда следует, что величина Уравнение Бернулли постоянна вдоль линии тока

Уравнение Бернулли .

          Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Это уравнение называют уравнением Бернулли.

          Если течение жидкости происходит в поле сил тяжести, то в правой части уравнений Эйлера есть ускорение силы тяжести Уравнение Бернулли.

          Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси z, причём положительные значения z отсчитываются вверх. Тогда проекция Уравнение Бернулли на Уравнение Бернулли есть

Уравнение Бернулли .

          Соответственно этому будем иметь

Уравнение Бернулли .

          Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остаётся постоянной длина

Уравнение Бернулли.

Предыдущие материалы: Следующие материалы: