Уравнения Эйлера


 

          Выделим в жидкости конечный объём. Полная сила, действующая на выделенный объём жидкости, равна интегралу

Уравнения Эйлера.

          взятому по поверхности рассматриваемого объёма. Преобразуем его в интеграл по объёму, имеем

Уравнения Эйлера.

          Отсюда видно, что на каждый элемент объёма Уравнения Эйлера жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила - Уравнения Эйлера.

Тогда на единицу объёма жидкости действует силаУравнения Эйлера.

          Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объёма жидкости, приравняв силу Уравнения Эйлера произведению массы Уравнения Эйлера единицы объёма жидкости на её ускорение

Уравнения Эйлера.                                                 (1)

          Стоящая здесь производная Уравнения Эйлера определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определённой передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту величину необходимо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам.

          Изменение скорости Уравнения Эйлераданной жидкой частицы в течение времени Уравнения Эйлера складывается из двух частей:

          - из изменения скорости Уравнения Эйлерав данной точке пространства  в течение времени Уравнения Эйлера;

- из  разности  скоростей  (в один  и тот  же момент времени)  в двух точках, разделённых расстоянием Уравнения Эйлера, пройденным рассматриваемой частицей в течение времениУравнения Эйлера.

          Первая из этих частей равна

Уравнения Эйлера,

где производная берётся Уравнения Эйлера при постоянных   x,y,z, т.е. в заданной точке пространства.

          Вторая часть изменения скорости равна

Уравнения Эйлера .

          Таким образом,

Уравнения Эйлера  ,

          или, разделив обе скорости равенства на  dt

Уравнения Эйлера .

          Подставив полученное соотношение в (1), получим

Уравнения Эйлера.

          Полученное уравнение движения жидкости - уравнение Эйлера (1755), и является одним из основных в гидродинамике.

          Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу её объёма действует ещё силаУравнения Эйлера , гдеУравнения Эйлера есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения, и уравнение принимает вид:

Уравнения Эйлера.

          При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывали процессов диссоциации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными её участками.

          Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости означает, что движение происходит адиабатически. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.

          При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остаётся постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая  S  энтропию, отнесённую к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением

 

Уравнения Эйлера.

          полная производная по времени означает изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно записать в виде

Уравнения Эйлера .

          Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. С помощью уравнения неразрывности его можно написать в виде уравнения неразрывности для энтропии.

Уравнения Эйлера ,

          где Уравнения Эйлера - плотность потока энтропии.

          Иногда это условие используют в более простой форме. Если в некоторый момент времени энтропия одинакова во всех точках объёма жидкости, то она остаётся везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости.

          В этих случаях уравнение адиабатичности записывается в виде

 

S=const .

          Изэнтропичностью движения можно воспользоваться и представить уравнения Эйлера в другом виде. Из термодинамических соотношений известно

Уравнения Эйлера ,

 

где w - тепловая функция единицы массы жидкости, V - удельный объём, Т - температура.

          Поскольку S=const,  имеем просто

Уравнения Эйлера,

          и поэтому

Уравнения Эйлера .

          Уравнения Эйлера можно записать в виде

Уравнения Эйлера .

 

          Воспользуемся известной формулой векторного анализа

Уравнения Эйлера.

 

          уравнение Эйлера можно записать в другом виде

Уравнения Эйлера .

          К уравнениям движения необходимо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость границах. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твёрдую поверхность.

          На неподвижных стенках это означает, что должна обращаться в нуль нормальная к стенке компонента вектора скорости:

Уравнения Эйлера .

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: