Относительный покой жидкости.


Понятие относительного покоя. В предшествующем изложении гидростатики предполагалось, что жидкость находится в покое относительно некоторой условно неподвижной системы отсчета (в так называемом абсолютном покое). Неподвижными относительно этой системы предполагаются также сосуды, в которых заключена жидкость. При таком предположении и получено основное уравнение гидростатики.

Перейдем к рассмотрению так называемого относительного покоя жидкости. Под этим определением подразумевается, что частицы жидкости, заключенной в некотором сосуде, не имеют перемещений друг относительно друга и вся масса жидкости покоится относительно стенок сосуда, следовательно, относительно жестко связанных с сосудом координатных осей, в то же время сосуд перемещается произвольным образом относительно неподвижной системы отсчета.

Из основ механики известно, что законы, описывающие абсолютный или относительный покой (а также абсолютное или относительное движение), не различаются между собой, если подвижная система отсчета перемещается относительно неподвижной инерциальным образом, т.е. прямолинейно и равномерно. Рассмотрим два примера относительного покоя жидкости.

Относительный покой однородной жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси. Подвижные координатные оси расположим так, что ось Oz направлена вертикально вверх (рис. 2.17). Сосуд, благодаря трению, вовлекает в движение наполняющую его жидкость и по истечении небольшого промежутка времени, после начала вращения, жидкость также начинает приходить во вращение с той же угловой скоростью, что и сам сосуд. Таким образом, в дальнейшем жидкость покоится относительно сосуда, что позволяет применить уравнения гидростатики, но в координатах, жестко связанных с сосудом, т.е. вращающихся в пространстве.

Приложенными к частицам жидкости массовыми силами являются по-прежнему силы тяжести, параллельные оси z; силами инерции в переносном движении в данном случае являются центробежные силы, перпендикулярные к оси z, имеющие ускорение (ω2r), где r = √(x2 + у2)  есть расстояние данной частицы жидкости от оси вращения. Проекциями ускорения равнодействующей этих сил на оси координат будут                 X=│Fи/m│x= ω2x ;          Y=│Fи/m│y= ω2y ;          Z=│Fи/m│z= ω2z ;

Подставляя эти выражения в (2.8), найдем дифференциальное уравнение поверхностей уровня

ω2(xdx + ydy) – gdz =0.                   (2.21)

Интегрируя это уравнение, получим          ω2/2(x2 + y2) – gz =const        или     ω2r2/2  - gz = const  (2.22)

Из (2.22) следует, что поверхности уровня (в том числе и свободная поверхность) являются параболоидами вращения (см. рис. 1.17) вокруг оси z.

Напомним, что распределению давления в несжимаемой жидкости соответствует зависимость (2.4).

Относительный покой жидкости.dp =p(Xdx+Ydy + Zdz),

а в данном случае       dp = р ,

отсюда    (после   интегрирования)        можно получить

р = р ω2r2/2   - pgz+c.     (2.23)

Поместим начало подвижных координат в точку «О» пересечения оси z со свободной поверхностью. Тогда постоянная интегрирования определится из граничного условия р = р0 при r = 0 и    Z= 0. Подставив эти значения в (2.23), получим const = р0,  следовательно        р = р0 +р* ω2r2/2  - pgz.                    (2.24)

Последнее уравнение выражает закон распределения давления в жидкости.

Из уравнения (2.24) видно, что давление в некоторой горизонтальной плоскости z=const  по мере увеличения радиуса увеличивается   по   сравнению   с гидростатическим,    вычисленным   для неподвижного сосуда, на величину p *ω2r2/2  , т.е. тем сильнее, чем  больше число оборотов сосуда. Этим пользуются в технике в случаях, когда надо увеличить на некоторый период времени давление внутри массы жидкости (увеличение давления, зависящее от значения центробежной силы, лежит также в основе работы центробежных насосов).

Предыдущие материалы: Следующие материалы: