Уравнение неразрывности


          Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике.

          Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скоростей Уравнение неразрывности и каких-либо двух термодинамических величин, например,  Уравнение неразрывности  - давления и Уравнение неразрывности-  плотности.

          Скорость, давление и плотность жидкости будем относить к данным точкам пространства,  а не к определённым частицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будем пользоваться переменными Эйлера.

 

 

 

Уравнение неразрывности                         Рис. 11

          Рассмотрим некоторый объём Vo пространства. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть

Уравнение неразрывности .

          Через элемент поверхности Уравнение неразрывности, ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество Уравнение неразрывности жидкости ( рис. 11).

 

          Вектор Уравнение неразрывности по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда Уравнение неразрывности положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в него.

          Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объёма Vo

Уравнение неразрывности .

          где S - поверхность, ограничивающая выделенный объём Vo.

          С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объёме Vo можно записать в виде

Уравнение неразрывности.

          Приравнивая оба выражения, получаем:

Уравнение неразрывностиУравнение неразрывности.

          Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму

Уравнение неразрывности.

Таким образом,

Уравнение неразрывности .

          Поскольку это равенство должно иметь место для любого выделенного объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т.е.

Уравнение неразрывности.

Получили уравнение неразрывности.

          Расписав выражение Уравнение неразрывности можно записать

Уравнение неразрывностиУравнение неразрывности

          В декартовых координатах

Уравнение неразрывности.

          Вектор   Уравнение неразрывности  называют плотностью потока жидкости.

          Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.

 

Предыдущие материалы: Следующие материалы: